10/01 Esercizi in classe
9/01 Esercizi in classe
7/01 Cenni sulle setsnsioni di campi, eòementi algebrici e trascendenti. Campi finiti. Costruzione ed esempi.
19/12 Quozienti di anelli di polinomi. Esempi. Elementi invertibili e divisori dello zero negli anelli quozienti (polinomi e interi di Gauss).
18/12 Ricevimento in aula M4 (9-11)
17/12 Un dominio euclideo è un PID. Cenni su $\mathbb Z[\sqrt{d}]$.
12/12 Domini Euclidei (ED). Esempi: $\mathbb Z, K, K[X], \mathbb Z[i]$. Elementi invertibili in un ED (caratterizzazione tramite la valutazione euclidea). Divisione col resto in $\mathbb Z[i]$.
10/12 Domini a ideali principali (PID). Un PID è un dominio di Bezout ed è UFD . Esempi.
9/12 Relazione di divisibilità fra elementi in un dominio. Elementi primi, irriducibili e associati. Definizione di MCD e domini a Fattorizzazione Unica (UFD). Significato del MCD e dell'Identità di Bezout a livello di ideali del dominio D. Minimo Comune Multiplo. Collegamenti fra MCD e mcm di due elementi.
3/12 Il secondo e terzo teorema di omomorfismo per gli anelli. Corrispondenza fra ideali primi e massimali tramite un omomorfismo di anelli. Campo dei quozienti di un anello commutativo e integro.
28/11 Il primo teorema di omomorfismo per gli anelli. Corrispondenza di sottoanelli e ideali tramite un omomorfismo di anelli. La proiezione di un anello su un ideale bilatero ($R \rightarrow R/I$).
26/11 Ideale primo in un anello commutativo: definizione e caratterizzazione come quoziente. Ideale massimale in un anello commutativo unitario: definizione e caratterizzazione come quoziente. Relazioni fra ideali primi e massimali. Esempi di cosa succede in anelli non unitari.
21/11 Ideali di un anello (destri, sinistri e bilateri). Relazioni compatibili in un anello e relazione con ideali bilateri. Anello quoziente. Esempi.
19/11 Anelli: definizione e prime proprietà. Divisori dello zero, elementi invertibili. Domini finiti sono campi. Sottoanelli.
18/11 Correzione esonero e consegna compiti
7/11 Esercitazione pre-esonero
5/11 Esercitazione in classe
4/11 Secondo Teorema di Syolow (con dimostrazione) e Terzo Teorema di Syolow (senza dimostrazione). Applicazioni: gruppi abeliani sono prodotto diretto dei loro Sylow, gruppi di ordine $pq$, gruppi di ordine $p^2q$.
30/10 Normalizzante di un sottogruppo (esempi). Sottogruppi caratteristici (esempi). Primo Teorema di Syolow (con dimostrazione).
28/10 Calcolo cardinalità delle classi di coniugio di $S_n$ (Machì, pag. 60, Teorema 2.44). Trovare tutti i sottogruppi normali di $S_4$. Dimostrazione del fatto che il gruppo alterno $A_4$ non ha sottogruppi di ordine $6$ (non invertibilità del Teorema di Lagrange). I gruppi di ordine 77 sono ciclici.
24/10 Classi di coniugio in $S_n$.
22/10 Calcolo del numero di orbite di un'azione (teorema di Burnside). Esempi. Equazione delle classi. Gruppi di cardinalità $p^2$ sono abeliani. Il centro di un $p$-gruppo finito è non banale. Teorema di Cauchy sull'esistenza di un elemento di ordine $p$ in un gruppo finito $G$ tale che $p \mid \mid G \mid$.
17/10 Prodotto semidiretto di gruppi, esempi (gruppi diedrali). Azione di un gruppo su un insieme: orbite, stabilizzatori. Calcolo cardinalità dell'orbita (= indice dello stabilizzatore).
15/10 Prodotto diretto interno di gruppi. Automorfismi di un gruppo: esempi ($\mathbb Z_n$ e $S_3$).
10/10 Teorema di Cayley, esempi ($\mathbb Z_n). generalizzazione del Teorema di Cayley utilizzando le classi laterali di un sottogruppo. Centro di un gruppo.
8/10 Proprietà sottogruppi normali e loro classi laterali. Inversione teorema sui gruppi ciclici riguardo l'esistenza di un unico sottogruppo per ogni divisore dell'ordine.Teoremi di omomorfismo per i gruppi. Teorema di corrispondenza dei sottogruppi (normali) tramite un omomorfismo.
3/10 Relazioni di equivalenza compatibili in un gruppo e loro rapporto con i sottogruppi normali. Relazione di coniugio. Criterio di normalità di un sottogruppo tramite l'utilizzo degli elementi coniugati. Esempi.
01/10 Relazione di congruenza destra e sinistra rispetto ad un sottogruppo. Classi laterali di un sottogruppo. Teorema di Lagrange e suoi corollari. Isomorfismi di gruppi. Omomorfismi di gruppi: prime proprietà ed esempi.
26/9 Sottogruppi di un gruppo ciclico: struttura e cardinalità. Gruppi diedrali.
9/01 Esercizi in classe
7/01 Cenni sulle setsnsioni di campi, eòementi algebrici e trascendenti. Campi finiti. Costruzione ed esempi.
19/12 Quozienti di anelli di polinomi. Esempi. Elementi invertibili e divisori dello zero negli anelli quozienti (polinomi e interi di Gauss).
18/12 Ricevimento in aula M4 (9-11)
17/12 Un dominio euclideo è un PID. Cenni su $\mathbb Z[\sqrt{d}]$.
12/12 Domini Euclidei (ED). Esempi: $\mathbb Z, K, K[X], \mathbb Z[i]$. Elementi invertibili in un ED (caratterizzazione tramite la valutazione euclidea). Divisione col resto in $\mathbb Z[i]$.
10/12 Domini a ideali principali (PID). Un PID è un dominio di Bezout ed è UFD . Esempi.
9/12 Relazione di divisibilità fra elementi in un dominio. Elementi primi, irriducibili e associati. Definizione di MCD e domini a Fattorizzazione Unica (UFD). Significato del MCD e dell'Identità di Bezout a livello di ideali del dominio D. Minimo Comune Multiplo. Collegamenti fra MCD e mcm di due elementi.
3/12 Il secondo e terzo teorema di omomorfismo per gli anelli. Corrispondenza fra ideali primi e massimali tramite un omomorfismo di anelli. Campo dei quozienti di un anello commutativo e integro.
28/11 Il primo teorema di omomorfismo per gli anelli. Corrispondenza di sottoanelli e ideali tramite un omomorfismo di anelli. La proiezione di un anello su un ideale bilatero ($R \rightarrow R/I$).
26/11 Ideale primo in un anello commutativo: definizione e caratterizzazione come quoziente. Ideale massimale in un anello commutativo unitario: definizione e caratterizzazione come quoziente. Relazioni fra ideali primi e massimali. Esempi di cosa succede in anelli non unitari.
21/11 Ideali di un anello (destri, sinistri e bilateri). Relazioni compatibili in un anello e relazione con ideali bilateri. Anello quoziente. Esempi.
19/11 Anelli: definizione e prime proprietà. Divisori dello zero, elementi invertibili. Domini finiti sono campi. Sottoanelli.
7/11 Esercitazione pre-esonero
5/11 Esercitazione in classe
4/11 Secondo Teorema di Syolow (con dimostrazione) e Terzo Teorema di Syolow (senza dimostrazione). Applicazioni: gruppi abeliani sono prodotto diretto dei loro Sylow, gruppi di ordine $pq$, gruppi di ordine $p^2q$.
30/10 Normalizzante di un sottogruppo (esempi). Sottogruppi caratteristici (esempi). Primo Teorema di Syolow (con dimostrazione).
28/10 Calcolo cardinalità delle classi di coniugio di $S_n$ (Machì, pag. 60, Teorema 2.44). Trovare tutti i sottogruppi normali di $S_4$. Dimostrazione del fatto che il gruppo alterno $A_4$ non ha sottogruppi di ordine $6$ (non invertibilità del Teorema di Lagrange). I gruppi di ordine 77 sono ciclici.
24/10 Classi di coniugio in $S_n$.
22/10 Calcolo del numero di orbite di un'azione (teorema di Burnside). Esempi. Equazione delle classi. Gruppi di cardinalità $p^2$ sono abeliani. Il centro di un $p$-gruppo finito è non banale. Teorema di Cauchy sull'esistenza di un elemento di ordine $p$ in un gruppo finito $G$ tale che $p \mid \mid G \mid$.
17/10 Prodotto semidiretto di gruppi, esempi (gruppi diedrali). Azione di un gruppo su un insieme: orbite, stabilizzatori. Calcolo cardinalità dell'orbita (= indice dello stabilizzatore).
15/10 Prodotto diretto interno di gruppi. Automorfismi di un gruppo: esempi ($\mathbb Z_n$ e $S_3$).
8/10 Proprietà sottogruppi normali e loro classi laterali. Inversione teorema sui gruppi ciclici riguardo l'esistenza di un unico sottogruppo per ogni divisore dell'ordine.Teoremi di omomorfismo per i gruppi. Teorema di corrispondenza dei sottogruppi (normali) tramite un omomorfismo.
3/10 Relazioni di equivalenza compatibili in un gruppo e loro rapporto con i sottogruppi normali. Relazione di coniugio. Criterio di normalità di un sottogruppo tramite l'utilizzo degli elementi coniugati. Esempi.
01/10 Relazione di congruenza destra e sinistra rispetto ad un sottogruppo. Classi laterali di un sottogruppo. Teorema di Lagrange e suoi corollari. Isomorfismi di gruppi. Omomorfismi di gruppi: prime proprietà ed esempi.
26/9 Sottogruppi di un gruppo ciclico: struttura e cardinalità. Gruppi diedrali.
24/9 Definizione di gruppo: esempi e prime proprietà. Ordine di un elemento: prime proprietà. Sottogruppi generati da un insieme X. Gruppi di permutazioni: richiami su definizioni e proprietà.